數學公式集錦

數學A(I)

第1章　直角坐標系

1-1　直角坐標

1.   在坐標平面上，兩坐標軸（x軸與y軸）將平面分成四個部分（不含x軸與y軸），右上角部分稱為第一象限；左上角部分稱為第二象限；左下角部分稱為第三象限；右下角部分稱為第四象限。

2.   數線上兩點P(a)、Q(b)，則P、Q兩點的距離為。

3.   設平面上兩點P(x₁,y₁)、Q(x₂,y₂)，則P、Q兩點的距離為
。

4. 設P₁(x₁,y₁)、P₂(x₂,y₂)、P(x,y)為同一直線上相異三點，m、n為正數，且，若P在線段上，則稱P為之內分點，且，。

5. 設坐標平面上相異兩點P₁(x₁,y₁)、P₂(x₂,y₂)，且的中點坐標為P(x,y)，則，。

6.   已知△ABC的三頂點坐標為A(x₁,y₁)、B(x₂,y₂)、C(x₃,y₃)，則△ABC的重心坐標為
。

1-2　直線的斜率與方程式

1.   設平面上有一直線L，且P₁(x₁,y₁)、P₂(x₂,y₂)為直線L上的兩個相異點。

(1) 當x₁ ¹ x₂時，直線L的斜率為。

(2) 當x₁ = x₂時，直線L的斜率m不存在，表示直線L垂直於x軸。

2.   設兩相異直線L₁與L₂的斜率分別是m₁與m₂

(1) 若L₁//L₂，則m₁ = m₂；反之亦然。

(2) 若L₁ ^ L₂，則m₁ ´ m₂ = - 1；反之亦然。

3.   直線方程式的求法：

(1) 點斜率
?經過點P(x₀,y₀)且斜率為m的直線方程式為y - y₀ = m(x - x₀)。
?經過點P(x₀,y₀)且斜率不存在的直線方程式為x = x₀。

(2) 兩點式
經過相異兩點P(x₁,y₁)與Q(x₂,y₂)的直線方程式為
?當x₁ ¹ x₂時，直線方程式為。
?當x₁ = x₂時，直線方程式為x = x₁。

(3) 斜截式
?斜率為m且y截距為b的直線方程式為y = mx + b。
?斜率為m且x截距為a的直線方程式為y = m(x - a)。
?斜率不存在且x截距為a的直線方程式為x = a。

(4) 截距式
x截距為a、y截距為b（a ¹ 0，b ¹ 0）的直線方程式為。

4.   由直線方程式求斜率：
設直線方程式ax + by + c = 0，則

(1) 若b = 0，直線方程式的斜率不存在。

(2) 若b ¹ 0，直線方程式的斜率為。

5.   如果直線L：ax + by + c = 0的斜率存在，則

(1) 和L平行的直線必可化簡為ax + by + k = 0（k ¹ c）。

(2) 和L垂直的直線必可化簡為bx - ay + h = 0。

6.   點與直線的距離：
點P(x₁,y₁)到直線L：ax + by + c = 0的距離為。

7.   兩平行線的距離：
兩平行線L₁：ax + by + c₁ = 0與L₂：ax + by + c₂ = 0的距離為。

1-3　函數圖形

1.   函數f (x) = ax + b稱為線性函數，其圖形為一直線。

2.   二次函數f (x) = ax² + bx + c圖形的對稱軸為。

3.   若a > 0，則f (x) = ax² + bx + c在時f (x)有最小值，圖形頂點即最低點為。

4.   若a < 0，則f (x) = ax² + bx + c在時f (x)有最大值，圖形頂點即最高點為。

第2章　三角函數及其應用

2-1　有向角及其度量

1.   有向角：
有方向限制的角稱為有向角。往逆時針方向旋轉的角稱為正角；往順時針方向旋轉的角稱為負角。

2.   (1) 六十分制
      將一圓周分成360等分，每一等分所對的圓心角即為1度。

(2) 弧度制
在圓周上取一與半徑等長之弧，此弧所對的圓心角即為1弧度。
弧度　或　1弧度

3.   已知一扇形之半徑為r，弧長為S，圓心角為q 弧度，面積為A，則
S = rq，。

4.   同界角：
當兩個角有共同的始邊和終邊的時候，這兩個角稱為同界角。

5.   標準位置角：
將廣義角放在坐標平面上，角的頂點在原點上，角的始邊在x軸的正向上，這樣的有向角稱為標準位置角。

2-2　三角函數的定義

▲圖2-48

1.   銳角三角函數定義：
，稱作ÐA的正弦函數
，稱作ÐA的餘弦函數
，稱作ÐA的正切函數
，稱作ÐA的餘切函數
，稱作ÐA的正割函數
，稱作ÐA的餘割函數

2.   特別角三角函數值：

3.   任意角三角函數定義：
在標準位置角q 的終邊上任取一點P(x,y)，假設
，，
，，

4.   三角函數值的正負符號：

5.   象限角三角函數值：

6.   三角函數之間具有的關係：

(1) 倒數關係
sinq cscq = 1，cosq secq = 1，tanq cotq = 1

(2) 商數關係
，

(3) 平方關係
sin²q + cos²q = 1，1 + tan²q = sec²q，1 + cot²q = csc²q

2-3　三角函數的圖形

1.   y = sinx的圖形可知
(1)y = sinx的圖形的週期為2p                      (2) - 1 £ sinx £ 1

2.   y = cosx的圖形可知
(1)y = cosx的圖形的週期為2p                     (2) - 1 £ cosx £ 1

3.   y = tanx的圖形可知
(1)y = tanx的圖形的週期為p                         (2)tanx的值可為任意實數

4.   y = cotx的圖形可知
(1)y = cotx的圖形的週期為p                         (2)cotx的值可為任意實數

5.   y = secx的圖形可知
(1)y = secx的圖形的週期為2p                     (2)secx £ - 1或secx ³ 1

6.   y = cscx的圖形可知
(1)y = cscx的圖形的週期為2p                     (2)cscx £ - 1或cscx ³ 1

2-4　三角函數的應用

在△ABC中，若a、b、c分別表ÐA、ÐB、ÐC的對邊長，以D表三角形面積，R為△ABC的外接圓半徑

(1) 面積公式

(2) 正弦定理

(3) 餘弦定理
a² = b² + c² - 2bccosA，b² = c² + a² - 2cacosB，c² = a² + b² - 2abcosC

數學A(II)

第1章　向量

1-1　向量的意義

1.   ，其中a₁稱為的x分量，a₂稱為的y分量。
的長度記作且。

2.   向量的坐標表示法：
設A(x₁,y₁)、B(x₂,y₂)為坐標平面上兩點，則，且。

3.   相等向量：
設，，當a₁ = b₁且a₂ = b₂時，兩向量相等，記作。反之，當時，a₁ = b₁且a₂ = b₂。

4.   方向角：
對於非零向量，以x軸正向為始邊，所在射線為終邊所夾的角度q（0 £ q < 2p），稱為的方向角即。

1-2　向量的加減與實數積

1.   向量加減與實數積的坐標表示法：
設，，r為實數，則

(1) 。

(2) 。

(3) 。

2.   向量的平行：
設，，則　Û　a₁b₂ = a₂b₁；當b₁b₂ ¹ 0時，
 Û　。

1-3　向量的內積與夾角

1.   向量內積的定義：
設與為兩非零向量，q 為兩向量的夾角，則與的內積。當、有一向量為零向量時，規定。

2.   向量內積的坐標表示法：
設與，則。當、有一向量為零向量時，亦能成立。

3.   向量的垂直（、為非零向量）：
　Û　。

4.   向量內積的性質：設、與為坐標平面上三向量，r為實數，則
(1)。                                        (2)。
(3)。                              (4)。

1-4　點到直線距離

1.   正射影長：
設與為兩非零向量，q 為兩向量的夾角，則在的正射影長為。

2.   點到直線距離：
在坐標平面上，已知點P(x₁,y₁)與直線L：ax + by + c = 0，則P點到直線L的距離為。

第2章　式的運算

2-1　多項式的四則運算

1.   多項式相等：
f (x) = a_nxⁿ + a_{n - 1}x^{n - 1} + … + a₁x + a₀（a_n ¹ 0）與g(x) = b_mx^m + b_{m - 1}x^{m - 1} + … + b₁x + b₀（b_m ¹ 0），當n = m且a_n = b_n，a_{n - 1} = b_{n - 1}，…，a₁ = b₁，a₀ = b₀時，稱f (x)與g(x)相等。

2.   多項式的定義：
設n為正整數或零且a_n、a_{n - 1}、a_{n - 2}、…、a₁、a₀都是實數，
f (x) = a_nxⁿ + a_{n - 1}x^{n - 1} + … + a₁x + a₀，則稱f (x)為x的多項式。

(1) 若a_n ¹ 0時，n稱為f (x)的次數，我們以degf (x) = n表示，或稱f (x)為n次多項式。

(2) a_k稱為f (x)的x^k項係數。

(3) 若a_n ¹ 0時，a_n稱為f (x)的領導係數。

(4) a₀為f (x)的常數項。

3.   常數多項式：
若f (x) = a₀時，f (x)稱為常數多項式，又

(1) 當a₀ ¹ 0時，f (x)稱為零次多項式，例如f (x) = 3。

(2) 當a₀ = 0時，也就是f (x) = 0，f (x)稱為零多項式。

4.   除法定理：
設f (x)與g(x)為二多項式，且g(x) ¹ 0，則恰存在二多項式q(x)與r(x)滿足f (x) = g(x)q(x) + r(x)，其中r(x) = 0或degr(x) < degg(x)，即被除式 = 除式 ´ 商式 + 餘式，其中餘式為0或餘式次數 < 除式次數。

2-2　餘式與因式定理

1.   餘式定理：
設a ¹ 0，多項式f (x)除以ax - b的餘式為。

2.   因式定理：
設a ¹ 0，若ax - b為多項式f (x)的因式，則，反之亦然。

3.   乘法公式：

(1) 和平方公式　(a + b)² = a² + 2ab + b²，
差平方公式　(a - b)² = a² - 2ab + b²。

(2) 平方差公式　a² - b² = (a + b)(a - b)。

(3) 立方和公式　(a + b)(a² - ab + b²) = a³ + b³，
立方差公式　(a - b)(a² + ab + b²) = a³ - b³。

4.   一次因式檢驗法：
設f (x) = a_nxⁿ + a_{n - 1}x^{n - 1} + … + a₁x + a₀且a_n、a_{n - 1}、a_{n - 2}、…、a₁、a₀都是整數，若一次式ax - b為f (x)的因式，其中a、b互質，則a為a_n的因數且b為a₀的因數。

2-3　多項方程式

1.   一次方程式：
設a、b都是實數，則ax + b = 0稱為一次方程式：

(1) 若a ¹ 0，則（恰有一解）。

(2) 若a = 0，b ¹ 0，則ax + b = 0無解。

(3) 若a = 0，b = 0，則ax + b = 0的解為任意實數，也就是此方程式有無限多解。

2.   二次方程式解的判別：
設二次方程式ax² + bx + c = 0：

(1) 當b² - 4ac > 0時：ax² + bx + c = 0有二相異實數解，且。

(2) 當b² - 4ac = 0時：ax² + bx + c = 0有二相等實數解，且。

(3) 當b² - 4ac < 0時：ax² + bx + c = 0無實數解。

3.   根與係數關係：
設a、b 為二次方程式ax² + bx + c = 0的兩根，則
，。

4.   由根假設方程式：
設a、b 為某二次方程式的兩根且此方程式的x²項係數為1，則此方程式為x² - (a + b )x + (a ´ b ) = 0。

5.   一般而言，高次方程式a_nxⁿ + a_{n - 1}x^{n - 1} + … + a₁x + a₀ = 0沒有固定的解法，可先嘗試利用公式或一次因式檢驗法將方程式因式分解，再求方程式的解。

第3章　指數與對數及其運算

3-1　指數

1.   指數定義：
若a為實數且n為正整數，則，讀作「a的n次方」，其中a稱為底數，n為指數。

2.   零指數與負整數指數：
若a為實數（但a ¹ 0）且m、n為正整數，規定
(1)a⁰ = 1                                (2)                            (3)。

3.   方根的乘除運算：
若a > 0，b > 0且n為正整數，則
(1)                                            (2)。

4.   分數指數：
若a > 0且m為整數、n為正整數，規定：
(1)                                                       (2)。

5.   實數指數律：
若r、s為實數且a > 0、b > 0，則

(1) a^r ´ a^s = a^{r + s}。

(2) 。

(3) (a^r)^s = a^rs。

(4) (ab)^r = a^r ´ b^r。

(5) 。

3-2　指數函數及其圖形

1.   指數函數定義：
設a > 0且a ¹ 1，對於任意實數x，y = a^x稱為以a為底數的指數函數。

2.   指數函數y = a^x的圖形：

(1) y = a^x的圖形必在x軸上方，即指數函數值一定為正數。

(2) y = a^x的圖形一定過點(0,1)。

(3) 當a > 1時，y隨x增加而增加。
當0 < a < 1時，y隨x增加而減少。

3.   指數相等：
設a > 0且a ¹ 1，x > 0，y > 0則a^x = a^y　Û　x = y。

3-3　對數

1.   對數定義：
若a > 0且a ¹ 1，則a^x = b　Û　x = log_ab。

2.   對數性質：
若a、M、N均為正實數且a ¹ 1，則

(1) log_a1 = 0，log_aa = 1。

(2) 。

(3) log_a(M ´ N) = log_aM + log_aN。

(4) 。

(5) log_aM ^s = slog_aM。

(6) （r ¹ 0）。

(7) （換底公式，b > 0且b ¹ 1）。

3-4　對數函數及其圖形

1.   對數函數定義：
設a > 0且a ¹ 1，x > 0，y = log_ax稱為以a為底數的對數函數。

2.   對數函數y = log_ax的圖形：

(1) y = log_ax的圖形一定在y軸右方。

(2) y = log_ax的圖形一定過點(1,0)。

(3) 當a > 1時，y隨x增加而增加。
當0 < a < 1時，y隨x增加而減少。

3.   指數函數圖形與對數函數圖形的比較：

(1) y = a^x與的圖形對稱於y軸。

(2) y = log_ax與的圖形對稱於x軸。

(3) y = a^x與y = log_ax的圖形對稱於直線y = x。

4.   對數相等：
設a > 0且a ¹ 1，x > 0，y > 0，則log_ax = log_ay　Û　x = y。

3-5　常用對數與其應用

1.   對於每一個正數x，logx = n + logb（0 £ logb < 1，n為整數），整數n稱為對數logx的首數；logb稱為對數logx的尾數，尾數logb必為介於0與1之間的數。

2.   首數與尾數：

(1) 對數 = 首數 + 尾數（0 £ 尾數 < 1）。

(2) 真數x > 1，且整數的部分是n位數時，對數logx的首數是n - 1。

(3) 真數0 < x < 1，而其小數部分在小數點後第n位以前均為0，且第n位不是0，則數對logx的首數為 - n。

數學A(III)

第1章　不等式及其應用

1-1　一元二次不等式

1.   (1) 當a > 0時，一次不等式ax + b > 0的解為，如圖1-26所示。

(2) 當a < 0時，一次不等式ax + b > 0的解為，如圖1-27所示。

▲圖1-26　　　　　　　　　　　　 ▲圖1-27

2.   對於任一正數a，(1)| x | £ a的解為 - a £ x £ a，如圖1-28所示。
                               (2)| x | ³ a的解為x £ - a或x ³ a，如圖1-29所示。

▲圖1-28　　　　　　　　　　　　 ▲圖1-29

3.   二次函數y = ax² + bx + c，

(1) 設a > 0，則當b² - 4ac > 0時，y = ax² + bx + c的圖形為開口向上的拋物線且與x軸有兩個交點(a,0)與(b,0)其中、，a < b，如圖1-30所示。

▲圖1-30

      所以不等式ax² + bx + c < 0的解為a < x < b；
　而不等式ax² + bx + c > 0的解為x < a 或x > b。

(2) 設a > 0，則當b² - 4ac = 0時，y = ax² + bx + c的圖形為開口向上的拋物線且與x軸有一個交點，如圖1-31所示。

▲圖1-31

      所以不等式ax² + bx + c < 0無解；
　　不等式ax² + bx + c £ 0的解為；
　　不等式ax² + bx + c > 0的解為x不等於的任意實數；
　　不等式ax² + bx + c ³ 0的解為所有實數。

(3) 設a > 0，則當b² - 4ac < 0時，y = ax² + bx + c的圖形為開口向上的拋物線且與x軸沒有交點，如圖1-32所示。

▲圖1-32

      所以不等式ax² + bx + c < 0無解；
　　不等式ax² + bx + c £ 0無解；
　　不等式ax² + bx + c > 0的解為所有實數；
　　不等式ax² + bx + c ³ 0的解為所有實數。

1-2　二元一次不等式的圖形

1.   二元一次不等式的圖形：設直線L：y = mx + b，則

(1) y > mx + b的圖形為直線L的上側半平面。

(2) y ³ mx + b的圖形為直線L及直線L的上側半平面。

(3) y < mx + b的圖形為直線L的下側半平面。

(4) y £ mx + b的圖形為直線L及直線L的下側半平面。

2.   設直線L：ax + by + c = 0，其中a > 0，則

(1) ax + by + c > 0的圖形為直線L的右側半平面。

(2) ax + by + c ³ 0的圖形為直線L及直線L的右側半平面。

(3) ax + by + c < 0的圖形為直線L的左側半平面。

(4) ax + by + c £ 0的圖形為直線L及直線L的左側半平面。

3.   二個或二個以上的二元一次不等式聯立時，是指同時滿足二個或二個以上的二元一次不等式，其圖形為各不等式圖形的共同部分。

1-3　線性規劃

1.   在數對(x,y)滿足一組二元一次聯立不等式的條件下，考慮二元一次函數f (x,y)的最大值、最小值：在此問題中，二元一次聯立不等式稱為問題的限制條件；滿足此條件的解，稱為問題的可行解，並稱可行解所圍區域為問題的可行解區域；又二元一次函數f (x,y)稱為此問題的目標函數，而使函數f (x,y)有最大值、最小值的數對(x,y)，稱為問題的最佳解。

第2章　圓與直線

2-1　圓方程式

1.   圓的標準式：以O(h,k)為圓心，且半徑為r（r > 0）的圓方程式是(x - h)² + (y - k)² = r²。

2.   圓的一般式：圓方程式必為形式如x² + y² + dx + ey + f = 0的二元二次方程式，其中x²項與y²項的係數相等且方程式中不含xy項。

3.   (1) 若d² + e² - 4f > 0，則方程式x² + y² + dx + ey + f = 0表示一個圓，其圓心坐標為，半徑為。

(2) 若d² + e² - 4f = 0，則方程式x² + y² + dx + ey + f = 0表示一個點，此點坐標為。

(3) 若d² + e² - 4f < 0，則方程式x² + y² + dx + ey + f = 0在坐標平面上沒有圖形。

4.   我們稱d² + e² - 4f為x² + y² + dx + ey + f = 0圖形的判別式。

2-2　圓與直線的關係

1.   予點P之坐標為(x₁,y₁)，圓C之方程式為(x - h)² + (y - k)² = r²。

(1) 若點P在圓C的內部，則(x₁ - h)² + (y₁ - k)² < r²，反之亦然。

(2) 若點P在圓C上，則(x₁ - h)² + (y₁ - k)² = r²，反之亦然。

(3) 若點P在圓C的外部，則(x₁ - h)² + (y₁ - k)² > r²，反之亦然。

2.   予點P之坐標為(x₁,y₁)，圓C之方程式為x² + y² + dx + ey + f = 0。

(1) 若點P在圓C的內部，則x₁² + y₁² + dx₁ + ey₁ + f < 0，反之亦然。

(2) 若點P在圓C上，則x₁² + y₁² + dx₁ + ey₁ + f = 0，反之亦然。

(3) 若點P在圓C的外部，則x₁² + y₁² + dx₁ + ey₁ + f > 0，反之亦然。

3.   予直線L：ax + by + c = 0與圓C：(x - h)² + (y - k)² = r²，設圓心O與直線L的距離為d，則。

(1) 若d < r，則直線L與圓C相割，反之亦然。

(2) 若d = r，則直線L與圓C相切，反之亦然。

(3) 若d > r，則直線L與圓C相離，反之亦然。

4.   切線方程式的求法：

(1) 過圓上一點，求切線方程式：
? 過圓C：(x - h)² + (y - k)² = r²上一點P(x₁,y₁)的切線方程式為
    (x₁ - h)(x - h) + (y₁ - k)(y - k) = r²。
? 過圓C：x² + y² + dx + ey + f = 0上一點P(x₁,y₁)的切線方程式為
    。

(2) 過圓外一點，求切線方程式：
予圓C：(x - h)² + (y - k)² = r²與圓外一點P(x₁,y₁)。
則可依下列步驟求出過點P且與圓C相切的直線方程式：
? 找出圓心(h,k)與半徑r。
? 假設切線斜率為m，由點斜式可得切線方程式為y - y₁ = m(x - x₁)，整理得
    mx - y - mx₁ + y₁ = 0。
? 利用圓心(h,k)到切線mx - y - mx₁ + y₁ = 0的距離等於圓C的半徑，
    得，藉之以求m之值。
? 將m值代入mx - y - mx₁ + y₁ = 0，即得過P點且與圓C相切的直線方程式。

5.   圓的切線段長之求法：

(1) 自點P(x₁,y₁)到圓C：(x - h)² + (y - k)² = r²的切線段長為。

(2) 自點P(x₁,y₁)到圓C：x² + y² + dx + ey + f = 0的切線段長為。

第3章　數列與級數

3-1　等差數列與等差級數

1.   一個數列的項數有限，我們就稱這個數列為有限數列；若項數無限，則稱為無窮數列。

2.   已知（å讀作sigma），c為常數，則

(1) 。

(2) 。

(3) 。

(4) ，其中1 £ m < n且m為整數。

3.   若在一個數列中，除了首項外，其任意一項與前一項的差都相等，我們就稱此數列為等差數列（或算術數列）；其固定的差稱為公差。

4.   設一等差數列的首項為a₁，公差為d，一般項為a_n，前n項的和為S_n，
則a_n = a₁ + (n - 1)d
　。

5.   設a、b、c三個數成等差數列，則等差中項。

3-2　等比數列與等比級數

1.   予一數列，其中每一項皆不為0。若此數列除首項之外，其任意一項與前一項的比值都相等，我們就稱此數列為等比數列（或幾何數列）；此固定的比值稱為此數列之公比。

2.   設a、b、c三個數成等比數列，則等比中項。

3.   已知一個等比數列的首項為a₁，公比為r，則

(1) 此等比數列的一般項為a_n = a₁ ´ r^{n - 1}。

(2) 當r = 1時，前n項的和S_n = na₁。

(3) 當r ¹ 1時，前n項的和。

數學A(IV)

第1章　排列組合

1-1　乘法原理與樹狀圖

1.   計數時，可以將一些原本零散沒有組織的東西，將它組織成像樹枝分叉一層一層拓展開來的結構形式，這樣的圖形稱為樹狀圖。

2.   加法原理：
如果完成某件事，有k個不同的方式，採用方式一有m₁種方法，採用方式二有m₂種方法，……，採用方式k有m_k種方法，則完成這件事的方法共有m₁ + m₂ + … + m_k種。

3.   乘法原理：
如果完成某件事須經過k個步驟，而完成第一個步驟有m₁種方法，完成第二個步驟有m₂種方法，……，完成第k個步驟有m_k種方法，每個步驟間所選用的方法互不影響，則完成這件事的方法共有m₁ ´ m₂ ´ … ´ m_k種。

1-2　排列與組合

1.   相異物的直線排列：

(1) 由n個不同的事物中，全取排成一列的排列方法數為

。

(2) 從n個不同的事物中，任選m個排成一列的排列方法數為

。

2.   不盡相異物的直線排列：

(1) 設n個事物中有m個相同，其餘都不同。則n件全取的排列方法數為。

(2) 設n個事物中，可分成k組。其中第一組有m₁個相同物，第二組有m₂個相同物，……，第k組有m_k個相同物（此時m₁ + m₂ + … + m_k = n），則此n個事物全取排成一列，其排列方法數為。

3.   環狀排列：

(1) 將n個不同的事物作環狀排列，其排列方法數為。

(2) 從n個不同的事物中，任選m個作環狀排列，其排列方法數為
。

4.   組合：
從n件不同的事物中，每次不重複的取m個為一組，其組合數為
。

(1) （0 £ m £ n）。

(2) 。

第2章　機率與統計

2-1　樣本空間與事件

1.   集合是由一些明確的事物所組成，組成這個群體的每個事物稱為這個集合的元素。

2.   空集合：
不包含任何元素的集合稱為空集合，以符號{　}或Æ來表示。

3.   子集：
如果集合B中的每一個元素都是集合A的元素，稱集合B為集合A的子集。

4.   聯集：
集合A所有的元素與集合B所有的元素所組成的集合，稱為A與B的聯集，記為AÈB，即AÈB = {x | xÎA或xÎB}。

5.   交集：
集合A與集合B的共同元素所組成的集合，稱為A與B的交集，記為AÇB，即AÇB = {x | xÎA且xÎB}。

6.   差集：
由屬於集合A，但不屬於集合B的元素所組成的集合，稱為A與B的差集，記為A - B，即A - B = {x | xÎA但xÏB}。

7.   宇集與補集：
當所探討的集合都是某個集合U的子集時，稱U為宇集。當A是宇集U的子集時，稱U中不屬於A的元素組成的集合為A在U中的補集。

8.   一項隨機試驗中，所有可能發生的結果所形成的集合，叫做試驗的樣本空間，通常用S表示。樣本空間中的每一個元素，稱為一個樣本。樣本空間的每個子集稱為一個事件。

9.   設A、B為樣本空間S中的兩個事件，

(1) 和事件：AÈB表示事件A與事件B所有的樣本所構成的事件，稱為和事件。

(2) 積事件：AÇB表示事件A與事件B共有的樣本所構成的事件，稱為積事件。

(3) 餘事件：A¢表示不在A中的樣本所構成的事件，稱為餘事件。

(4) 互斥事件：如果AÇB = Æ，則稱A、B兩個事件互斥，也就是事件A與事件B不可能同時發生。

2-2　求機率問題

1.   假設一個隨機試驗的樣本空間S，為有有限個樣本，其中各樣本點出現的機會均等。若AÌS為一事件，則事件A發生的機率為A之元素個數與S之元素個數的比值，記為，其中n(S)與n(A)分別表示S與A的元素個數。

2.   機率的性質：

(1) P(Æ) = 0。

(2) P(S) = 1。

(3) 若AÌS為一事件，則0 £ P(A) £ 1。

(4) 餘事件的機率：若AÌS為一事件，則P(A¢) = 1 - P(A)。

(5) 若A和B為S中的兩事件且AÌB，則P(A) £ P(B)。

(6) 機率的排容原理：若A和B為S中的兩事件，則
P(AÈB) = P(A) + P(B) - P(AÇB)。

2-3　數學期望值

1.   設某事件發生的機率為P，若該事件發生時可得到的報酬為M，失敗時報酬為0，則M ´ P稱為此事件的數學期望值，簡稱為期望值，通常以E表示。

2.   設一試驗的樣本空間S可分割成k個互斥事件，而每個事件發生機率分別為P₁、P₂、……、P_k，且事件發生時分別可得數值M₁、M₂、……、M_k的報酬，則M₁ ´ P₁ + M₂ ´ P₂ + … + M_k ´ P_k稱為此試驗的數學期望值，簡稱為期望值。

2-4　資料整理與圖表編製

1.   製作次數分配表的步驟：
排序、求全距、定組數或組距、定組限、歸類並計算次數。

2.   直方圖：
利用長方形來表示數值資料中，各組的次數分布的情況，稱為直方圖。

3.   次數分配折線圖：
以各組資料的組中點為橫坐標，以各組的次數為縱坐標標示出各點，由左而右連接相鄰的點，並於最左邊與最右邊各向外延伸一點，就形成一折線圖。

4.   累積次數分配曲線圖：
利用累積次數分配表，以各組資料的上限為橫坐標，及各組累積的次數為縱坐標標示出各點，由左而右連接相鄰的點，即得以下累積分配曲線圖；以各組資料的下限為橫坐標，及各組累積的次數為縱坐標標示出各點，由左而右連接相鄰的點，即得以上累積分配曲線圖。

2-5　算術平均數、中位數、百分等級

1.   算術平均數：
設一群數值為x₁、x₂、……、x_n，則其算術平均數定義為
。

2.   中位數：
設n個數值由小至大排列為x₍₁₎ £ x₍₂₎ £ … £ x_(n)，

(1) 若n為奇數時，中位數。

(2) 若n為偶數時，中位數，即正中間兩個數的平均。

3.   眾數：
一群數值中出現次數最多的數稱為眾數，記作Mo。又眾數可能不只一個。

4.   百分等級：
當某個資料數值，在整體資料中有至少k%的資料數值小於或等於它，而且有至少(100 - k)%的資料數值大於或等於它，我們稱這個資料數值的百分等級為k，記作PR = k。

2-6　四分位距與標準差

1.   全距是指一群數值資料中，最大值和最小值的差距，通常以R表示。

2.   四分位距：
設n個數值由小至大排列為x₍₁₎ £ x₍₂₎ £ … £ x_(n)，將已排列的數值等分成四段，可得三個分界點，最小的分界點稱為第1四分位數，以Q₁表示；其次即為中位數；最後的分界點稱為第3四分位數，以Q₃表示。第3四分位數Q₃與第1四分位數Q₁的差稱為四分位距，以IQR表示，即IQR = Q₃ - Q₁。

3.   設n個數值x₁、x₂、……、x_n；以表示其算術平均數，我們稱為x_i的離均差。離均差平方的算術平均數稱為變異數，而變異數的正平方根稱為標準差。設n個資料為x₁、x₂、……、x_n，其算術平均數為，則標準差為。

2-7　抽樣方法

1.   簡單隨機抽樣：
從母群體中，每一個體被選中的機會都相等的條件下，隨機抽取樣本，稱為簡單隨機抽樣。

2.   系統抽樣：
系統抽樣為做一次簡單隨機抽樣後，依據固定間隔數抽出下一個樣本。

3.   分層隨機抽樣：
將母群體依某種標準區分成不重複的若干組，每組稱為「層」，且層與層之間有很大的變異性，同一層內的變異性較小。再從每一層中利用簡單隨機抽樣抽出所需比例的樣本數，將所得各層樣本合起來即為樣本。

4.   部落抽樣：
其方法為將母群體分成若干部落，而部落間的變異小，部落內的變異大。再從這些部落中抽出數個部落進行抽樣調查或普查。

2-8　解讀信賴區間與信心水準

1.   媒體報導中的滿意度是抽樣受訪民眾的滿意度，將它加上正負抽樣誤差，就得一個信賴區間，而我們有95%的信心說，真正滿意的比例會落在信賴區間內。

數學C(I)

第1章　直線方程式

1-1　直角坐標

1.   數線：數線上相異兩點A(x₁)、B(x₂)，則

(1)

(2) 的中點為

2.   坐標平面：將平面分為四象限

▲圖1-36

1-2　距離公式與分點坐標

1.   坐標平面上相異兩點A(x₁,y₁)、B(x₂,y₂)，則

(1) 距離公式：

(2) 中點公式：的中點為

(3) 若A - P - B，且，則
內分點公式：

2.   設A(x₁,y₁)、B(x₂,y₂)、C(x₃,y₃)為△ABC的三頂點，則
△ABC的重心為

1-3　函數圖形

1.   函數的定義：
設x、y是兩個變數，如果給定x值後、y值隨著x值依某種關係而確定，我們稱y為x的函數，x稱為自變數，y稱為應變數。

2.   函數圖形：

(1) 常數函數（線型函數），形如y = k

(2) 一次函數（線型函數），形如y = ax + b

(3) 二次函數（拋物線），形如y = ax² + bx + c

1-4　直線方程式

1.   直線的斜率：（x₁ ¹ x₂）

2.   判別斜率大小：

▲圖1-37

3.   平行與垂直：
平面上相異兩直線L₁、L₂的斜率分別為m₁、m₂（m₁ ¹ 0，m₂ ¹ 0），則

(1) L₁//L₂       Û　m₁ = m₂

(2) L₁ ^ L₂    Û　m₁ ´ m₂ = - 1

4.   直線方程式：

(1) 點斜式：直線L過P(x₀,y₀)且斜率為m，則L：y - y₀ = m(x - x₀)

(2) 兩點式：直線L過P₁(x₁,y₁)、P₂(x₂,y₂)兩點且x₁ ¹ x₂
　　　　則L：

(3) 斜截式：直線L的斜率為m，若y截距為b
　　　　則L：y = mx + b

(4) 截距式：直線L的x截距為a，y截距為b（ab ¹ 0）
　　　　則L：

(5) 一般式：直線L為ax + by + c = 0（a、b不同時為0），
　　　　

(6) 平行線與垂直線：直線L：ax + by = c，則

5.   二元一次方程組的解之幾何意義
兩直線的關係：方程組，（a₁b₁c₁ ¹ 0，a₂b₂c₂ ¹ 0）

第2章　三角函數

2-1　有向角及其度量

1.   角度互換：

(1) （弧度）

(2) 1（弧度）

2.   同界角：
兩有向角a、b 有相同的始邊和終邊，即a - b = 360°k（或2kp），其中k為整數，則a、b 互為同界角。

3.   扇形：

(1) 弧長S = rq

(2) 周長L = S + 2r